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数学的帰納法 2全ての自然数nついて2^n>n成り立つこ。mを整数として[x]=mとするとx=m+pp≦01とあらわすことができる0≦p1/2のときmm+p+1/2m+1すなわちmx+1/2m+1だから[x+1/2]=mしたがって[x]+[x+1/2]=2m2x=2m+2p0≦2p1∵0≦p1/2より[2x]=2mよって[x]+[x+1/2]=[2x]1/2≦p1のとき[x]=mx+1/2=m+p+1/2でm+1≦m+p+1/2m+2つまり[x+1/2]=m+1[x]+[x+1/2]=2m+12x=2m+2p1≦2p2より2m+1≦2m+2p2m+2[2x]=2m+1よって[x]+[x+1/2]=[2x]以上により[x]+[x+1/2]=[2x]が成り立つことが証明されたn=1のとき不等式は成り立つn=kで不等式が成り立つと仮定すると2^kk2^k+1=2^k?22k2k。(1)[x]+[x+1/2]=[2x]成り立つこ示せ (2)全ての自然数nついて、2^n>n成り立つこ示せ 解説お願いますm(_ _)m数学的帰納法とは。ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典 – 数学的帰納法の用語解説 – 自然数
についてのある命題 において, は真である,ある任意の自然数と
仮定すれば + もまた真である,というつのことが証明されれば, は
すべての自然数 について真であるという推論が成り立つ。例えば,から
までの個の自然数の和は+/であるが,これを証明するのに次のよう
にしてもよい。数学的帰納法。自然数 を含む命題を とする。 すべての自然数 について が成り立つ
ことをいうには, 次のつのことつの命題を示せばよい。 [] が成り立つ
ことを示す。 [] が成り立つと仮定する 帰納法の仮定 ならば結論として +

数学的帰納法不等式の証明。左辺== 右辺= よって,=のときAが成り立つ. =≧ の
ときAが成立すると仮定すれば,, より, 以上のすべての正の整数
についてAが成り立つ. が よりも大きい自然数のとき,次の不等式
が成り立つことを証明せよ. …A [証明] = のとき, *

mを整数として[x]=mとするとx=m+pp≦01とあらわすことができる0≦p1/2のときmm+p+1/2m+1すなわちmx+1/2m+1だから[x+1/2]=mしたがって[x]+[x+1/2]=2m2x=2m+2p0≦2p1∵0≦p1/2より[2x]=2mよって[x]+[x+1/2]=[2x]1/2≦p1のとき[x]=mx+1/2=m+p+1/2でm+1≦m+p+1/2m+2つまり[x+1/2]=m+1[x]+[x+1/2]=2m+12x=2m+2p1≦2p2より2m+1≦2m+2p2m+2[2x]=2m+1よって[x]+[x+1/2]=[2x]以上により[x]+[x+1/2]=[2x]が成り立つことが証明されたn=1のとき不等式は成り立つn=kで不等式が成り立つと仮定すると2^kk2^k+1=2^k?22k2k-k+1=k-1≧0∵kは自然数したがって2^k+12k≧k+1となり2^k+1k+1よってn=k+1でも不等式は成り立つ以上、数学的帰納法により不等式が成り立つことが証明された別解2^n=1+1^n=nC0+nC1+…+nCn二項定理=1+n+…+1n

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